Théorie des probabilités - 2AD

Objectif

Il s'agit d'un cours de remise à niveau en théorie des probabilités pour les étudiants arrivant directement en deuxième année. Les outils de probabilité étudiés seront utiles pour tirer le meilleur parti des cours de statistique mathématique et des disciplines dérivées : économétrie, modèles à variables qualitatives, théorie des sondages, séries temporelles...

La formalisation mathématique, fondée sur la théorie de l'intégration, fait l'objet d'un chapitre préliminaire assez bref rappelant les principaux résultats et notations. L'accent est ensuite mis sur le calcul de lois de probabilité et les changements de variables, en raison de leur importance pratique, et sur des concepts spécifiques de la théorie des probabilités qui donnent lieu à des développements plus détaillés : les espérances conditionnelles et les différents modes de convergence.

Modalités d'évaluation :

La note finale du cours est celle de l'examen écrit.

Plan

1. Probabilités, mesures et intégration : éléments pour une approche épistémologique.
2. Variables aléatoires et lois - études des moments et des propriétés géométriques des matrices de variance-covariance, détermination et caractérisation des lois, changements de variables, exemples de lois usuelles.
3. Indépendance, conditionnement et espérances conditionnelles - Théorie géométrique dans l'espace de Hilbert $L^2$ et théorie générale pour les variables dans $L^1$, théorie générale des probabilités conditionnelles avec application au calcul des espérances conditionnelles.
4. Etude des variables aléatoires normales - Lois dérivées, études des transformations linéaires et quadratiques des lois normales.
5. Problème général de convergence - Liens entre les différents modes de convergence, suites et séries de variables aléatoires indépendantes, théorèmes limites de la théorie asymptotique.