Algorithmic trading

Objectif

Le but de ce cours est de présenter aux étudiants le fonctionnement précis des marchés financiers actions, obligations et devises, ainsi que d’initier les étudiants aux deux grandes problématiques du trading algorithmique : l’exécution optimale et le market making. Concernant l’exécution optimale, le cours présentera le modèle d’Almgren-Chriss permettant la prise en compte des coûts d’exécution et de l’impact de marché dans la construction de stratégies optimales d’exécution pour des ordres de taille importante. Concernant le market making, le modèle de base qui est celui d’Avellaneda et Stoikov sera présenté ainsi que des extensions pour des utilisations à diverses classes d’actifs, notamment les obligations d’entreprises et les devises. Une initiation aux protocoles d'échange de la finance décentralisée sera aussi proposée.
Du point de vue mathématique, le cours fera grand usage de notions d’optimisation dynamique, du calcul variationnel et du contrôle optimal (stochastique ou non) : équation d’Euler-Lagrange, équation d’Hamilton-Jacobi(-Bellman), etc. Les étudiants non familiers avec ces notions se familiariseront avec elles durant le cours qui se veut accessible.

Pré-requis

• Calcul différentiel.
• Calcul stochastique.
• Optimisation dans un espace euclidien.

Principaux acquis de la formation

A l’issue de ce cours, les étudiants doivent être capables :

• D’être autonome dans la lecture d’un article académique sur le trading algorithmique. 
• D’utiliser les outils de l’optimisation dynamique et du contrôle optimal, notamment l’équation d’Euler-Lagrange et les différentes formes d’équations d’Hamilton-Jacobi et Hamilton-Jacobi-Bellman.

L’évaluation des connaissances sera faite via l’écriture d’un mini-mémoire de 5 à 10 pages sur un article scientifique.

Plan

• Séance 1 : Positionnement du sujet du cours dans l’histoire des mathématiques financières. Introduction au fonctionnement des marchés actions (carnet d’ordres, différents types d’ordres, concurrence entre plateformes, dark pools, etc.) et des grands marchés OTC (obligations et devises). Rappels de théorie de la décision (critère d’espérance d’utilité, critères moyenne-variance, etc.) Introduction à la problématique de l’exécution optimale.
• Séance 2 : Modèle d’Almgren-Chriss en temps discret. 
• Séances 3 et 4 : Modèle d’Almgren Chriss en temps continu. Cas uni-dimensionnel et multi-dimensionnel. Solutions explicites dans le cas de coûts d’exécution quadratiques et caractérisation Hamiltonienne des solutions dans le cas général. Discussion sur les formes d’impact de marché. Discussion autour des différents types d’exécution (IS, POV, Target Close, VWAP, TWAP, etc.). Lors de ces séances, une introduction aux équations d'Euler-Lagrange et d'Hamilton-Jacobi est aussi proposée.
• Séance 5 : Introduction au market making. Modèle d’Avellaneda et Stoikov. Equation d’Hamilton-Jacobi-Bellman avec sauts. Résolution dans le cas des intensités exponentielles.
• Séance 6 : Equations du market making optimal dans le cas d’un marché OTC quelconque. Application au marché des obligations d’entreprises et des devises. Introduction aux Automated Market Makers (DeFi).

Références

Almgren, Optimal execution of portfolio transactions, J. Risk 3 (Winter 2000/2001).

Almgren, Optimal execution with nonlinear impact functions and trading-enhanced risk, Applied Mathematical Finance 10, 2003.

Cannarsa, Sinestrari, Semiconcave Functions, Hamilton-Jacobi Equations, and Optimal Control, Springer, 2004.

Bardi, Capuzzo-Dolcetta, Optimal Control and Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman Equations.

Rockafellar, Conjugate Convex Functions in Optimal Control and the Calculus of Variations, J. of Math. Anal. Appli., 1970.

Avellaneda, Stoikov, High-frequency trading in a limit order book. Quantitative Finance, 8(3), 217-224, 2008.

Guéant, Optimal market making. Applied Mathematical Finance, 24(2), 112-154, 2017.