Mathématiques et apprentissage statistique pour économistes MS

Objectif

L'objectif du cours est de se familiariser avec les différents concepts et les différentes techniques mathématiques utiles en économies. On y voit notamment :

Statistique et théorie des probas : Comment se servir des mathématiques pour modéliser des phénomènes aléatoires ou bruités? Comment estimer des paramètres dans un modèle ? Comment construire des intervalles de confiance ? Pour répondre à ses questions, on donne des notions de théorie des probabilités, en insistant principalement sur les notions les plus importantes : indépendance de variables aléatoires, esperance, changement de variable, convergences de suites aléatoires. On donne ensuite les notions les plus courantes de statistiques : estimateurs, intervalle de confiance, test. 

Optimisation : On donne quelques clés pour comprendre l'optimisation en économie (optimisation sous contrainte de budget, etc). On commence par revoir quelques bases de calcul différentiel (calcul de gradient, Hessienne), avant d'expliquer comment l'utiliser pour calculer des extrema locaux. On étudie ensuite les optima sous contraintes avec les conditions KKT. On voit quelques rudiments de programmation dynamique.

Equations différentielles : on donne les techniques basiques pour résoudre quelques équations différentielles simples rencontrées souvent en économie. 

Apprentissage statistique : On explique quelques notions basiques d'apprentissage statistique : classifieur oracle, minimisation du risque empirique, notion d'overfitting, et des manipulations de méthodes usuelles : SVM, arbres de décision, régression logistique, boosting, kNN.

Plan

Probabilité

• Variables aléatoires discrétes et continues
• Vecteur aléatoire : loi jointes, loi marginales, loi conditionnelles
• Changement de variable
• Convergence des variables aléatoire   

Statistique 

• Exemple de lois usuelles
• Estimateurs
• Intervalles de confiance
• Introduction à la théorie des tests

Optimisation

• Calcul différentiel
• Optimisation sans contrainte
• Optimisation contrainte (conditions KKT)
• Programmation dynamique

Equation différentielles

• Théorème de Cauchy-Lipshitz
• Equation différentielles linéaire (premier et second ordre)
• Equations différentielles autonomes

Apprentissage statistique 

• Minimisation du risque empirique
• Méthodes globales et locales
• Séléction de modèle

Remarque : Nous n'étudierons que les équations différentielles ordinaires