Stochastic Calculus (ENSTA)

Objectif

Le but de ce cours est d'introduire les notions de martingales et d'intégrales stochastiques ainsi que les bases du calcul d'Itô. Ces notions sont à la base de la théorie des mathématiques financières, cependant, aucun problème de finance ne sera abordé ici.

Ce cours a lieu à l'ENSTA.

Plan

1. Généralités sur les processus en temps continu - Régularité des trajectoires, processus Gaussiens, temps d’ arrêt.
2. Martingales discrètes et continues - Théorèmes limites, théorèmes d'arrêt, inégalités classiques.
3. Mouvement brownien - Définition et propriétés. Caractérisation en tant que processus Gaussien, notion de variation quadratique, principe de réflexion.
4. Intégrale de Wiener et d'Ito - Construction des intégrales et propriété, intégrale stochastique par rapport à une martingale, notion de processus d’Ito, formule d'Itô.
5. Introduction aux équations différentielles stochastiques - Définition, théorèmes d'existence et d'unicité des solutions.
6. Applications du calcul stochastique - Caractérisation du mouvement Brownien de P. Lévy,  théorème de Girsanov, représentation des martingales Browniennes, formule de Feynman-Kac.
7. Introduction au contrôle optimal stochastique - Principe de la programmation dynamique. Equation d'Hamilton Jacobi Bellman. Applications en gestion de portefeuille.