Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue

Objectif

Ce cours introduit les bases mathématiques de la théorie des probabilités : la théorie de la mesure et celle de l’intégration au sens de Lebesgue.

Acquis de la formation : à l’issue de l'enseignement, l’étudiant saura :

- Enoncer les définitions principales et les propriétés élémentaires de la théorie de la mesure, et des espaces L^p
- Appliquer les théorèmes fondamentaux de l’intégration
- Manipuler les intégrales contre des mesures quelconques : changement de mesure, application de Fubini, calcul d’intégrale à paramètres

Modalités d'évaluation :

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final écrit (50%).

La note de contrôle continu (CC) est composée de trois éléments, notés chacun sur vingt points : (i) la note de mi-parcours, (ii) la note de présence en TD, lesquels sont obligatoires, (iii) la note de participation en TD. Elle est calculée ainsi : 50% de la note de mi-parcours + 25% de la note de présence + 25% du maximum entre la note de participation et la note de mi-parcours.

La note de présence, aussi appelée note d’assiduité, est calculée selon la grille disponible sur l’Intranet de l'école.

Plan

THEORIE DE LA MESURE

1. Tribus et parties d'un ensemble - Définition. Tribu engendrée, tribu image réciproque, produit d’espaces mesurables.
2. Mesure, espace mesuré - Définitions, propriétés élémentaires, caractérisation d’une mesure finie.
3. Prolongement d'une mesure et applications - Théorème de prolongement, mesure extérieure, mesure de Borel, ensembles négligeables, tribu et mesure complétée, tribu et mesure de Lebesgue, produit fini d’une famille d’espaces mesurés.
4. Applications mesurables - Définition, fonctions boréliennes, exemples, propriétés, transport d’une mesure, mesure image, fonctions étagées sur un espace mesurable: définition et théorème d’approximation.
5. Théorie de la mesure et probabilités

INTEGRATION

1. Intégration des fonctions mesurables positives - Intégrale d’une fonction étagée, d’une fonction mesurable, propriétés, théorème de la convergence monotone (Beppo-Lévi), lemme de Fatou, mesures à densité, théorème de changement de variable, théorème de Fubini-Tonelli.
2. Intégration des fonctions quelconques - Intégrale d’une fonction quelconque, espaces L^p, propriétés, théorème de la convergence dominée, applications (continuité et dérivation sous le signe somme), théorème de Fubini, convolution
3. Espérance et moments en probabilités

COMPLEMENTS

1. Espaces L^p - Définitions, propriétés, inégalités de Holder et Minkowski, dualité.
2. Transformée de Fourier

Références

ANSEL J.-P., DUCEL Y. : Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration,  2015, Paris:Ellipses

BRIANE M et PAGES G. : Analyse, Théorie de l’intégration, 2012, VUIBERT

GALLOUET T. et HERBIN R. : Mesure, intégration, probabilités, 2013, Ellipses

GRAMAIN A. : Intégration, HERMANN 

LE GALL J.-F. : Partie I, Intégration, Probabilités et Processus Aléatoires

REVUZ D. : Mesure et intégration, 1998: HERMANN