Analyse fonctionnelle et convexe

Objectif

Contexte

L'analyse fonctionnelle est l'étude de la topologie et de la géométrie des ensembles de fonctions. Qu'est-ce qui distingue topologiquement l'ensemble des fonctions continues de celui des fonctions de carré intégrable ? À quoi ressemble un ensemble compact dans l'ensemble des fonctions continues ? Et pourquoi on se pose ces questions d'abord ? La réponse à cette dernière question est simple : parce que les structures conçues, les théorèmes développés pour répondre aux deux premières sont d'un usage constant en probabilités, en statisitiques, en optimisation.

Or, l'économie dans sa version mathématique est souvent basée sur l'optimisation, donc le calculs de minimas. Minimiser une fonction, c'est savoir s'il y a un minimum, s'il est unique et comment le trouver. Si la fonction à minimiser est convexe, beaucoup de ces problèmes sont bien plus simples à résoudre que dans le cas général.

Modalités d'évaluation :

La note finale du cours sera la moyenne de la note de contrôle continu (50%) et de l'examen final écrit (50%).

La note de contrôle continu (CC) est composée de trois éléments, notés chacun sur vingt points : (i) la note de mi-parcours, (ii) la note de présence en TD, lesquels sont obligatoires, (iii) la note de participation en TD. Elle est calculée ainsi : 50% de la note de mi-parcours + 25% de la note de présence + 25% du maximum entre la note de participation et la note de mi-parcours.

La note de présence, aussi appelée note d’assiduité, est calculée selon la grille disponible sur l’Intranet de l'école.

Plan

- Topologie des espaces métriques

- Espaces de Banach

- Espaces de Hilbert

- Fonctions convexes

Références

- Boyd et Vandenberghe, Convex optimization

- H. Brézis, Analyse Fonctionnelle

- K.Kuttler, Modern Analysis

- Meise et Vogt, Introduction to Functional Analysis

- W. Rudin, Analyse Réelle et Complexe